1、
在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于A、B(A点在B点的左侧)与轴交于点C.
(1)如图1,连接AC、BC,若△ABC的面积为3时,求抛物线的解析式;
(2)如图2,点P为第四象限抛物线上一点,连接PC,若时,求点P的横坐标;
(3)如图3,在(2)的条件下,点F在AP上,过点P作PH⊥轴于H点,点K在PH的延长线上,AK=KF,∠KAH=∠FKH,PF=,连接KB并延长交抛物线于点Q,求PQ的长.
(1)解析式为;(2)点P 的横坐标为6 ;
(3) QP=7
试题分析:(1)通过解方程ax2-5ax+4a=0可得到A(1,0),B(4,0),然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标,再把C点坐标代入y=ax2-5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式;
(2)过点P作PH⊥x轴于H,作CD⊥PH于点H,如图2,设P(x,ax2-5ax+4a),则PD=-ax2+5ax,通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO,利用相似比可得到(-ax2+5ax):(-4a)=x:4,然后解方程求出x即可得到点P的横坐标;
(3)过点F作FG⊥PK于点G,如图3,先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP,由于P(6,10a),则可得到-10a=6-1,解得a=-,再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2,接着证明△AKH≌△KFG,得到KH=FG=2,则K(6,2),然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x-4,再通过解方程组得到Q(-1,-5),利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴,于是可得到QP=7.
试题解析:(1)当y=0时,ax2-5ax+4a=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),
∴AB=3,
∵△ABC的面积为3,
∴,解得OC=2,则C(0,-2),
把C(0,-2)代入y=ax2-5ax+4a得4a=-2,解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x-2;
(2)过点P作PH⊥x轴于H,作CD⊥PH于点H,如图2,设P(x,ax2-5ax+4a),则PD=4a-(ax2-5ax+4a)=-ax2+5ax,
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD,
∵∠BCP=2∠ABC,
∴∠PCD=∠ABC,
∴Rt△PCD∽Rt△CBO,
∴PD:OC=CD:OB,
即(-ax2+5ax):(-4a)=x:4,解得x1=0,x2=6,
∴点P的横坐标为6;
(3)过点F作FG⊥PK于点G,如图3,
∵AK=FK,
∴∠KAF=∠KFA,
而∠KAF=∠KAH+∠PAH,∠KFA=∠PKF+∠KPF,
∵∠KAH=∠FKP,
∴∠HAP=∠KPA,
∴HA=HP,
∴△AHP为等腰直角三角形,
∵P(6,10a),
∴-10a=6-1,解得a=-,
在Rt△PFG中,∵PF=4a=2,∠FPG=45°,
∴FG=PG=PF=2,
在△AKH和△KFG中
,
∴△AKH≌△KFG,
∴KH=FG=2,
∴K(6,2),
设直线KB的解析式为y=mx+n,
把K(6,2),B(4,0)代入得
,
解得,
∴直线KB的解析式为y=x-4,
当a=-时,抛物线的解析式为y=-x2+x-2,
解方程组,
解得或,
∴Q(-1,-5),
而P(6,-5),
∴PQ∥x轴,
∴QP=7.
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